线性空间的基底变换与转移矩阵

之前曾经说过，在一个线性空间中，它有着很多不同的基底，每一组基底都能唯一地刻画整个线性空间，那么，我们就要想，如果这些 不同的基底刻画的是相同的线性空间，那么这些不同的基底之间是否存在某些转化关系呢？因此，我们就引出了转移矩阵的概念：

定义1: 设\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)和\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)是线性空间\(V\)的两个不同的基底，且满足

其中\(P=[p_1,p_2,\cdots,p_n]\)，其第i列是\(\beta_i\)在\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)下的坐标，P是可逆的¹，则称P是由基底\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)到\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)的转换矩阵

上述 转移矩阵表达的是两个不同基底之间的转化关系，那我们不禁又要问：在这两个基底下的坐标表示又有什么联系呢?

我们可以做一下推导：

设\(s=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]x\)且\(s=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]y\)，其中\(x,y\)分别表示在向量\(s\)在\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)和\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)下的坐标，根据上面对转移矩阵的定义，我们可以得到:

又因为\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)是线性无关的(非奇异)的，所以\(x-Py=0\Rightarrow x=Py\)，这就是向量\(s\)在向量空间\(V\)中两个不同基底下的坐标转换关系。

得出了这样的转换关系，同一个线性空间中的元素就能在不同的基下自由转化了，一般来说，在平时使用的时候，我们都默认是在 自然基底下的坐标，对于二维空间来说，自然基底是\([\{1,0\},\{0,1\}]\)，而三维空间则是\([\{1,0,0\},\{0,1,0\},\{0,0,1\}]\).

线性算子

定义2: 设\(X\)和\(Y\)都是数域\(F\)上的线性空间，若映射\(T:X\to Y\)满足条件：

1. \(T(x_1+x_2)=Tx_1+Tx_2\) \(\left(\forall x_1,x_2\in X\right)\)
2. \(T(\lambda x)=\lambda Tx\) \(\left(\forall \lambda\in F,x\in X\right)\)

则称\(T\)是从\(X\)到\(Y\)的线性算子(或者线性映射)²

对于\(Tx=y\)来说，x称为原像,y称为像，\(X\)称为定义域，\(Y\)称为值域(事实上值域并没有"充满"\(Y\)，也就说，\(X\)中的每一个元素都可以通过映射\(T\)映射到\(Y\)中的元素，但是并不是说\(Y\)中的每一个元素都有一个\(X\)中的元素与其对应。)

特殊的线性算子

线性空间\(X\)到自身的线性算子称为\(X\)上的线性变换

线性空间\(X\)到数域\(F\)的线性算子称为\(X\)上的线性泛函

线性算子的性质

1. \(T(0)=0,T(-x)=-T(x) \forall x\in X\)
2. \(T(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n)=\lambda_1T(x_1)+\lambda_2T(x_2)+\cdots+\lambda_nT(x_n)\)
3. 若\(\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)是\(X\)中的线性相关系，则\(\{T(x_1),T(x_2),\cdots,T(x_n)\}\)是\(Y\)中的线性相关系
4. 若\(\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)在\(X\)中线性不相关，则\(\{T(x_1),T(x_2),\cdots,T(x_n)\}\)在\(Y\)中不一定线性相关

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