线性空间的基底变换与转移矩阵

之前曾经说过,在一个线性空间中,它有着很多不同的基底,每一组基底都能唯一地刻画整个线性空间,那么,我们就要想,如果这些 不同的基底刻画的是相同的线性空间,那么这些不同的基底之间是否存在某些转化关系呢?因此,我们就引出了转移矩阵的概念:

定义1: 设\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)是线性空间\(V\)的两个不同的基底,且满足

$$ \begin{equation} [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]P \end{equation} $$

其中\(P=[p_1,p_2,\cdots,p_n]\),其第i列是\(\beta_i\)\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)下的坐标,P是可逆的1,则称P是由基底\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)转换矩阵

上述 转移矩阵表达的是两个不同基底之间的转化关系,那我们不禁又要问:在这两个基底下的坐标表示又有什么联系呢?

我们可以做一下推导:

\(s=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]x\)\(s=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]y\),其中\(x,y\)分别表示在向量\(s\)\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)\([\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]\)下的坐标,根据上面对转移矩阵的定义,我们可以得到:

$$ \begin{align} s&=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]y=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]x=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]Py\\ &\Rightarrow [\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n](x-Py)=0 \end{align} $$

又因为\([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]\)是线性无关的(非奇异)的,所以\(x-Py=0\Rightarrow x=Py\),这就是向量\(s\)在向量空间\(V\)中两个不同基底下的坐标转换关系

得出了这样的转换关系,同一个线性空间中的元素就能在不同的基下自由转化了,一般来说,在平时使用的时候,我们都默认是在 自然基底下的坐标,对于二维空间来说,自然基底是\([\{1,0\},\{0,1\}]\),而三维空间则是\([\{1,0,0\},\{0,1,0\},\{0,0,1\}]\).

线性算子

定义2: 设\(X\)\(Y\)都是数域\(F\)上的线性空间,若映射\(T:X\to Y\)满足条件:

  1. \(T(x_1+x_2)=Tx_1+Tx_2\) \(\left(\forall x_1,x_2\in X\right)\)
  2. \(T(\lambda x)=\lambda Tx\) \(\left(\forall \lambda\in F,x\in X\right)\)

则称\(T\)是从\(X\)\(Y\)线性算子(或者线性映射)2

对于\(Tx=y\)来说,x称为原像,y称为\(X\)称为定义域\(Y\)称为值域(事实上值域并没有"充满"\(Y\),也就说,\(X\)中的每一个元素都可以通过映射\(T\)映射到\(Y\)中的元素,但是并不是说\(Y\)中的每一个元素都有一个\(X\)中的元素与其对应。)

特殊的线性算子

线性空间\(X\)到自身的线性算子称为\(X\)上的线性变换

线性空间\(X\)到数域\(F\)的线性算子称为\(X\)上的线性泛函

线性算子的性质

  1. \(T(0)=0,T(-x)=-T(x) \forall x\in X\)
  2. \(T(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n)=\lambda_1T(x_1)+\lambda_2T(x_2)+\cdots+\lambda_nT(x_n)\)
  3. \(\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)\(X\)中的线性相关系,则\(\{T(x_1),T(x_2),\cdots,T(x_n)\}\)\(Y\)中的线性相关系
  4. \(\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)\(X\)中线性相关,则\(\{T(x_1),T(x_2),\cdots,T(x_n)\}\)\(Y\)不一定线性相关

  1. 根据基底和坐标的定义,坐标是唯一的,因此\(P\)中每一列都是线性无关的,所以\(P\)是非奇异的,也即是可逆的。 

  2. 其实线性算子就是一个转换过程,将一个元素从一个空间转换到另一个空间。需要注意的是,这样的映射有很多,但只有满足上述两个条件的映射才能被称为是线性算子 

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