初等矩阵

定义: 设\(u,v\in C^n\),\(\sigma\)为一复数,形式为\(E(u,v,\sigma)=I-\sigma uv^H\)的矩阵,称为初等矩阵。

第一次看到这个定义的时候,有点蒙……仔细研究了一下,觉得这里有几点需要强调一下:

  • 这的\(C\)是复数域符号,以前不太接触复数域,所以一上来这个符号有点没反应过来,所以\(C^n\)是指复数域上的向量
  • \(H\)是复数域上的一种矩阵运算符号,称为共轭转置,在实数域中就可以被认为是转置操作(\(T\))

初等矩阵的性质

  1. \(det(E(u,v,\sigma))=1-\sigma v^Hu\)
  2. 如果\(\sigma V^Hu\neq 1\),则\(E(u,v,\sigma)\)可逆,并且其逆矩阵也是初等矩阵\(E(u,v,\sigma)^{-1}=E(u,v,\tau)\),其中\(\tau = \frac{\sigma}{\sigma v^Hu-1}\)
  3. 对任意的非零向量\(a,b\in C^n\),可适当选取\(u,v\)\(\sigma\)使得\(E(u,v,\sigma)a=b\)

两种比较重要的初等矩阵

初等下三角矩阵

\(u=l_i=(0,\cdots,0,l_{i+1,i},\cdots,l_{ni})\),\(v=e_i\),\(\sigma=1\)\(L_i=L_i(l_i)=E(l_i,e_i,1)\)称为初等下三角矩阵,即

$$ \begin{equation} L_i=L_i(l_i)=I-l_ie_i^T= \begin{bmatrix} 1 & & & & & & 0 \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & \\ & & -l_{i+1,i} & 1 \\ & & \vdots & & \ddots\\ 0 & & \vdots & 0 & & \ddots\\ & & -l_{n,i} & & & & 1 \end{bmatrix} \end{equation} $$

其中\(e_i=(\underbrace{0,\cdots,1}_\text{i},0,\cdots,0)\)

HouseHolder变换

在初等矩阵\(E(u,v,\sigma)=I-\sigma uv^t\)中取\(u=v=\omega,\sigma=2\),并且\(\omega\)是单位向量,即\(\Vert\omega\Vert=1\),初等矩阵

$$ \begin{equation} H(\omega)=E(\omega,\omega,2)=I-2\omega\omega^H \end{equation} $$

称为HouseHolder矩阵初等Hermit矩阵

HouseHolder矩阵的性质

  1. HouseHolder矩阵是对称的
  2. HouseHolder矩阵是正交矩阵
  3. HouseHolder矩阵的保范性,即对向量\(x,y\),总有\((Hx,Hy)=(x,y)\)(不改变内积)

定理: 设向量\(x\)\(y\)满足\(\Vert x\Vert=\Vert y\Vert\),于是取向量\(\omega=y-x\),构造HouseHolder矩阵{% math %}H=I-2\omega\omega^T/\omega^T\omega{% endmath %},就能使得\(Hx=y\)

HouseHolder变换的一个基本作用是使被选定的矩阵或向量的某些元素消为零。HouseHolder矩阵能在保持向量二范数和内积不变的情况,将一些元素消成零。

矩阵的满秩分解

满秩分解定理: 设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩为\(r>0\),则存在\(m\times r\)矩阵\(B\)\(r\times n\)矩阵\(C\)使得

$$ \begin{equation} A=BC \end{equation} $$

并且\(rank(B)=rank(C)=r\)

证明:

假设\(A\in R^{m\times n}\),且\(rank(A)=r\le\min(m,n)\),则总存在\(m\)阶矩阵\(P\)\(n\)阶矩阵\(Q\),使得\(A=P

\begin{bmatrix}I_r & 0 \\\\ 0 & 0\end{bmatrix}
Q\)

又因为\(

\begin{bmatrix}I_r & 0 \\\\ 0 & 0\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}I_r \\\\ 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_r 0\end{bmatrix}
\)

所以令\(B=P

\begin{bmatrix}I_r \\\\ 0\end{bmatrix}
\),\(C=
\begin{bmatrix}I_r 0\end{bmatrix}
Q\)

\(A=BC\)

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