多元多项式判定问题(PIT)

在之前的学习笔记0 中,曾经分析过这个问题,但是,当时是对于单元多项式进行分析的,这要比多元的情况要简单得多。这次,我们将来看一下多元多项式的判定问题。

多元多项式判定问题可以表述成:


input: 定义在数域\(F\)上度为\(d\)的多元多项\(P_1(x_1,x_2,\cdots,x_n),P_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)

output: 如果\(P_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \equiv P_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\),则返回Yes,否则返回No


注意,在这里多元多项式的是指每一项中所有变元的指数之和的最大值。

利用随机算法可以很巧妙地设计一种算法思路,首先令\(Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)-P_(x_1,x_2,\cdots,x_n)\),则原问题可以转化为判断\(D(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0\)是否成立。

一个和学习笔记0中相似的算法可以用来进行判断:


Algorithms for PIT

  1. \(F\)中随机取出一个若干个数,形成集合\(S\)
  2. \(S\)中随机取出\(r_1,r_2,\cdots,r_n\),形成向量\(\vec{r}\)
  3. 如果\(D(r_1,r_2,\cdots,r_n)=0\),则返回Yes,否则返回No

现在我们要来分析这个算法的正确性。

我们的分析过程可以用归纳法:

首先,当\(n=1\)时,则多元多项式退化为单元多项式,根据在学习笔记0中的分析,使用该算法的情况下,单元多项式判断出错的概率是

$$ \begin{equation} Pr[D(r)=0] \leq \frac{d}{\vert S \vert} \end{equation} $$

我们假设在\(n=k-1\)时,\(Pr[D(r_1,r_2,\cdots,r_{k-1})]\leq \frac{d}{\vert S \vert}\)成立。

则当\(n=k\)时,可以\(D(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)表示成:

$$ \begin{equation} D(x_1,x_2,\cdots,x_k) = \sum\limits_{i=0}^tx_1^iD_i(x_2,x_3,\cdots,x_k) \end{equation} $$

其中,\(t\)表示\(x_1\)的最大指数,这也就意味着,对于\(D_t\)来说,它的度最大\(d-t\),同时\(D_t\not\equiv 0\)

特别的,我们可以将\(D\)写成如下的特殊形式:

$$ \begin{equation} D(x_1,x_2,\cdots,x_k) = x_1^tD_t(x_2,x_3,\dots,x_k) + \bar{D}(x_1,x_2,\cdots,x_k) \end{equation} $$

注意,这里的\(\bar{D}(x_1,x_2,\cdots,x_k)\)中是不含\(x_1^t\)这一项的。

根据归纳法的证明步骤,在我们现在需要证明\(Pr[D(r_1,r_2,\cdots,r_k)=0]\le \frac{d}{\vert S \vert}\)

首先,令\(\epsilon\)表示事件"\(D_t(r_2,r_3,\cdots,r_k)=0\)"我们可以利用全概率法则,将\(D(r_1,r_2,\cdots,r_k)\)展开成:

$$ \begin{equation} Pr[D(\vec{r})=0] = Pr[D(\vec{r})=0\vert \epsilon]\cdot Pr[\epsilon] + Pr[D(\vec{r})=0\vert \neg\epsilon]\cdot Pr[\neg\epsilon] \label{ref0} \end{equation} $$

对于\(D_t(x_2,x_3,\dots,x_k)\)来说,它满足以下三点性质:

  1. \(D_t\)来说,它有\(k-1\)个未知数,也即\(k-1\)个变元
  2. \(D_t\)最大不会超过\(d-t\)
  3. \(D_t\not\equiv 0\)

则根据我们之前的假设,应该有

$$ \begin{equation} Pr[D_t(r_2,r_3,\cdots,r_k)=0]\le \frac{d-t}{\vert S\vert}\label{ref1} \end{equation} $$

而当\(D_t(r_2,r_3,\cdots,r_k)\neq 0\)也即\(\urcorner\epsilon\)成立时,令

$$ \begin{equation} D(x_1,r_2,\cdots,r_k) = x_1^tD_t(r_2,r_3,\cdots,r_k) + \bar{D}(x_1,r_2,\cdots,r_k) = G(x_1) \end{equation} $$

则,\(G\)有如下三点性质:

  1. \(G(x_1)\)是一个单元多项式
  2. \(G(x_1)\not\equiv 0\)
  3. \(G(x_1)\)的度为\(t\)(因为\(D_t(r_2,r_3,\cdots,r_k)\neq 0\),所以\(x_1^t\)一定存在,同时\(\bar{D}(x_1,r_2,\cdots,r_k)\)中又不包含\(x\_1^t\)这一项)

所以有

$$ \begin{equation} Pr\big[D(\vec{r})=0\big\vert \neg\epsilon\big] = Pr[G(r_1)=0\big\vert \neg\epsilon]\leq \frac{t}{\vert S \vert}\label{ref2} \end{equation} $$

而根据\(\ref{ref0}\)的等式,我们可以做如下变换:

$$ \begin{equation} Pr\big[D(\vec{r})=0\big] = Pr\big[D(\vec{r})=0\big\vert \epsilon\big]\cdot Pr\big[\epsilon\big] + Pr\big[D(\vec{r})=0\big\vert \neq\epsilon\big]\cdot Pr\big[\neg\epsilon] \leq Pr[\epsilon] + Pr[D(\vec{r}=0)\vert \neg\epsilon] \end{equation} $$

而上式中右侧的\(Pr[\epsilon]\)\(Pr[D(\vec{r}=0)\vert \neg\epsilon]\)可以通过\(\ref{ref1}\)\(\ref{ref2}\)进行计算,因此我们就能得到:

$$ \begin{equation} Pr\big[D(\vec{r})=0\big]\le Pr[\epsilon] + Pr[D(\vec{r}=0)\vert \neg\epsilon] = \frac{d-t}{\vert S \vert} + \frac{t}{\vert S \vert} = \frac{d}{\vert S \vert} \end{equation} $$

\(\Box\)

综上,我们证明了当\(P\_1,P\_2\)为多元多项式时,该算法依然能保持\(\frac{d}{\vert S \vert}\)的概率返回错误解,利用独立重复运行的方法,可以将这个错误率进一步减小,因此这就证明了该算法的可行性。

最小割问题

现在我们来看另外一个问题——最小割问题最小割问题的描述比较复杂,具体问题描述可以从wiki上找到,这里我就不多阐述了,直接来看一下解决这个问题的随机化的算法吧。

首先,我们需要定义一种"合并(contract)"操作,它将图中一条边上的两个定点合并,但是除了这两个点之间的边以外的边均保持不变(有可能因此会形成平行边)。

如下图所示,粗边被contract之后就得到右边的图了。

{% asset_img min-cut.png 最小割 %} 最小割

在定义了contract操作之后,我们就能够在图\(G(V,E)\)上构造我们随机化的算法了:


RandomContract(Karger 1993)

while \(\vert V \vert > 2\) do: {

  • 随机地从G中选出一条边\(e\)
  • 对于\(e\)执行contract操作,G = contract(G,e)

} return E


算法最终返回的是只有两个点的图,而这两点中有着很多的平行边,而此时所有平行边的个数就是我们最小割中边的个数。

还是一样的,我们需要分析这个算法的正确性。

首先,我们需要引入两个引理:

引理1: 如果选取的\(e\)不存在于最小割\(C\)中,则contract(G,e)中的最小割大小不会超过\(G\)中的最小割大小。也即,contract操作不会破坏最小割。

证明: 因为最小割\(C\)将图分成两部分,假设分别是\(P\)\(Q\),则现在只有三种边,分别属于\(C\),\(P\)\(Q\),而我们的前提条件是\(e\not\in C\),所以\(e\)之能是属于\(P\)\(Q\),因此并不会改变原来的\(C\).\(\Box\)

引理2: 如果\(C\)\(G(V,E)\)中的最小割,则\(\vert E\vert \ge \frac{\vert V\vert\vert C\vert}{2}\)

证明: 因为\(C\)\(G(V,E)\)中的一个最小割,则说明\(G\)中所有的点的度都至少为\(C\),则边集的大小至少为\(\frac{\vert V\vert\vert C\vert}{2}\),也即\(\vert E\vert \ge \frac{\vert V\vert\vert C\vert}{2}\) \(\Box\)

有了这两个引理,我们可以开始对Karger算法进行分析了。

很显然,要该算法返回正确的结果,就必须保证每次随机选择的边\(e\)均不能属于\(C\),因为一旦\(C\)中的边contract了,则最小割就被破坏了,算法会返回出一个错误的结果。

考虑单次随机选择的情况,假设前面的\(i-1\)次随机选择都没有选取到\(C\)中的边,则第\(i\)次依然没有选取\(C\)中的边的概率为:

$$ \begin{equation} Pr[e\not\in C] = 1 - \frac{\vert C\vert}{\vert E_{i} \vert} \end{equation} $$

其中\(E\_{i}\)表示经过\(i-1\)次选取之后,图中剩余的边集。

而根据引理2,我们可以得到:

$$ \begin{equation} Pr[e\not\in C] = 1 - \frac{\vert C\vert}{\vert E_{i} \vert} \ge 1 - \frac{2}{\vert V_i \vert} \end{equation} $$

其中\(V_{i}\)表示经过\(i-1\)次选取之后,图中剩余的点集。而又因为,每一次的contract操作都会减少一个点,因此\(V_i = n-i+1\)

\(\epsilon\)表示事件"在\(n-2\)次选择中,都没有选中\(C\)中的边"

因此在整个算法过程中,\(C\)中没有边被选中的概率为:

$$ \begin{aligned} Pr[\epsilon] &= \prod\limits_{i=1}^{n-2}Pr[第i次选择没有选中C中的边\vert 前i-1次选择都没有选中C中的边] \\ &\ge \prod\limits_{i=1}^{n-2}\bigg( 1 - \frac{2}{\vert V_{i} \vert} \bigg) \\ &= \prod\limits_{i=1}^{n-2}\bigg(1- \frac{2}{n-i+1} \bigg) \\ &= \prod\limits_{k=3}^{n}\frac{k-2}{k} \\ &= \frac{2}{n(n-1)} \end{aligned} $$

这就说明,每一次运行该算法,能够以\(\frac{n(n-1)}{2}\)的概率得到正确的结果,因此,如果我们独立重复执行该算法\(n(n-1)\)次,然后最终返回一个最小的\(C\),则返回一个正确解的概率是:

$$ \begin{equation} Pr[得到正确解] = 1-Pr[每一次运行都失败] \ge 1-\bigg( 1- \frac{2}{n(n-1)} \bigg)^{\frac{n(n-1)}{2}} \ge 1-\frac{1}{e} \end{equation} $$

这个结果很好,因为它是一个和\(n\)无关的常量!

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