引言

任何一个学习计算的人都应该了解什么是NP和NP-Complete问题,之前虽然学过,但是很长一段时间没有回顾,基本就已经忘的差不多了。 最近算法课讲到这个问题,本着「好好学习,天天向上」的态度,重新复习一下这几个基本概念。

如果只是需要快速知道什么是NP和NP-Complete,请直接跳跃到最后总结部分。

「问题」的定义

我们都知道NP和NP-Complete其实是对不同类别问题的描述,有些是「可解」的问题,而有些是「不可解」的问题。 但是,在区分什么是「可解」和「不可解」之前,我们更需要理解,什么是「问题」.

一个抽象问题\(Q\)是一个定义在问题实例集合\(I\)问题解集合\(S\)上的一个二元关系。 比如,在最短路径问题中,问题实例就是一个图和两个点组成的三元组,而其对应的解就是一个顶点的序列。

抽象问题通常分为两个类别:

  • 优化问题: 通常需要求得某个值的最大值或最小值
  • 判定问题: 解为\(0\)\(1\)的问题

NP理论关注的只是其中的判定问题。 然而实际上,优化问题和判定问题是可以相互转化的。 比如求最短路径问题,很明显这是一个优化问题,但是我们可以将问题改写成一个判定问题.

  • 最短路径的优化问题版: 给定一个图\(G\)及其上的两个顶点\(s,v\),请找出\(s\)\(v\)的最短路径。
  • 最短路径的判定问题版: 给定一个图\(G\),及其上的两个顶点\(s,v\)和一个常数\(k\),请判定图\(G\)是否存在一条从\(s\)\(v\)且长度最多为\(k\)路径。

编码

我们都知道,计算机底层都是二进制的代码。 因此,为了使得计算机程序能够求解一个抽象问题,我们需要对抽象问题进行编码操作。 我们通常都是采用二进制来对抽象对象进行编码的。 抽象对象集合\(S\)的编码是从\(S\)到二进制串集合的一个映射\(e\)。 举例来说,数字\(17\)的编码就是\(e(17)=10001\).

其实从抽象概念和编码概念上来说,我们所使用的语言也是一种编码,而我们脑海中的东西才是真正的抽象概念。

我们将一个以二进制序列为集合的实例集合称为具体问题(Concrete Problem)1.

P和NP

在上述的铺垫之后,我们现在可以定义什么才是真正的\(P\)了。

  • \(P\): 在多项式时间可解决具体判定问题的集合。
  • \(NP\): 在多项式时间可验证具体判定问题的集合。

可验证是指,在给定一个问题及其可能的一个解,我们能否判断这个解是否是当前问题的解。 从直觉上来说可验证要比可解决要容易得多,因此,我们可以认为\(P\subseteq NP\). 问题的关键在于,\(P\)是不是\(NP\)的一个真子集,这个问题困扰了CS理论界很多年了,但依然没有定论。 不过大多数人都认为\(P\neq NP\).

规约

此处的规约是指,存在一个多项式时间的算法\(f\)能够将问题\(A\)转化为问题\(B\),也即\(f\)能够将任意一个实例\(I\in A\)转化为\(f(I)\in B\),同时存在另外一个多项式时间的算法\(h\),将问题\(B\)的解转化为问题\(A\)的解,也即能够将\(f(I)\)的解\(S\)转化为\(I\)的解\(h(S)\). 下图比较直观的说明这个过程。

图解规约

规约在NP理论中是一个非常有用的工具,我们通常用\(A\longrightarrow B\)表示\(A\)能够规约为\(B\). 有时候也可以表示成\(A\le_p B\). 这形象地说明了问题\(A\)的难度是「小于等于」问题\(B\)的.

根据定义,我们知道,如果我们能够找到一个算法高效的解决问题\(B\),那么我们一定也能找到一个算法高效的解决\(A\). 但是,倒过来却并不成立,如果我们一个算法能高效解决\(A\),并不代表我们能找到一个算法高效的解决\(B\).

\(A\longrightarrow B\)中,问题的能难度随着箭头的方向而增加。 其实,规约最大的作用在于证明如果我们能知道解决\(A\)是非常困难的,那么解决\(B\)至少是同样困难的。 也就是说,面对一个新问题\(X\),如果我们能将某个已知的非常困难的问题\(A\)规约到\(X\),那么我们就能证明\(X\)至少是同样苦难的,因此不需要花费大量的时间去设计一个求取精确解的算法,我们可以转而寻找可行解。

至于如何规约,这已经超出我的需求,我觉得作为一个非专业研究NP问题的人来说,我并不需要知道如何进行规约(有些规约很简单,有些却很复杂)。 我只需要知道基本概念及其之间的关系,这已经满足的应用需求了。

NP-Complete

利用规约,我们能够给出NP-Complete的定义:

NP-Complete: 如果所有的\(NP\)问题都能规约到一个问题,那么这个问题就是NP-Complete.

另外还有一种来源于「算法导论」的定义方式:

一个问题\(Q\)是NP-Complete,当它同时满足如下的条件: 1. \(Q\in NP\) 2. 对于每一个\(Q^{'}\in NP\)满足\(Q^{'}\le_p Q\)

很显然,这两个定义其实表达的是同一件事。

根据这个定义,我们可以知道:

  1. NP-Complete既可以看成是一个问题,也可以看成是一个问题集合。 因为属于NP-Complete的问题必然是可以相互规约的,也即可以看成是同一个问题。
  2. NP-Complete是\(NP\)中最难的那一部分问题。

另外,在Introductino to Algorithm的定义中,如果某个问题\(Q\)只满足第二个条件,但不满足第一个条件,那么这个问题是NP-Hard的。 可以认为,NP-Hard是比NP-Complete还要难的问题的。

NP-Complete问题到目前为止还没人能找出其多项式时间内的解,如果我们在未来的某一天中能够找到一个NP-Complete问题多项式时间内的解,那么我们就能证明其实\(P=NP\). 因为NP-Complete代表的是\(NP\)中最难的那部分问题,如果这部分问题能在多项式时间内解决,那么整个\(NP\)就都能在多项式时间内解决,也即\(NP=P\).

下图比较清晰的说明了\(P\)\(NP\)和NP-Complete的关系.

NP的空间(假设\(P\neq NP\))

下表列举了一些NP-CompleteP问题

Hard Problems(NP-complete) Easy Problems(P)
3SAT 2SAT, Horn SAT
Longest Path Minimum Spanning Tree
3D Matching Bipartite Matching
Knapsack Unary Knapsack
Independent Set Independent Set on Trees
Integer Linear Programming Linear Programming
Rudrata Path Euler Path
Balanced Cut Minimum Cut

总结

  • \(P\): 能够在多项式内解决的问题集合
  • \(NP\): 不一定能够在多项式内解决,但是给定答案,能够在多项式时间内验证答案的问题集合
  • NP-Complete: \(NP\)中的最难的那一部分问题。
  • NP-Hard: 比NP-Complete还要难的问题。

一图胜千言,这几个概念可以用一张图来说明:

NP理论的总概念图

参考资料

  • Algorithms (Dasgupta, Papadimitriou, Vazirani)
  • Introduction to Algorithms (Cormen, Leiserson, Rivest, Stein)

更新日志

  • 2016-10-8 完成初稿并发布。
  • 2016-10-10 增加规约的\(\le_p\)符号、算法导论的关于NP-CompleteNP-Hard的定义、画出NP问题的总概念图。
  • 2016-10-11 修正几处输入错误。
  • 2016-10-12 增加NP-CompleteP的问题举例列表。

  1. 有一本书就叫「具体数学」 

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