Flyaway's Blog

PAC-Learning

评价机器学习算法

在之前的博文中,我们说明了对于Online Learning的机器学习算法的评价方法--Mistake Bound Algorithm. 今天这篇文章将要分析其他类型的机器学习模型的评价方法。

Online Learning相对应的另外一种学习模型是Batch Learning,与Online Learning不同的是,Batch Learning首先是在固定的训练集上进行训练,训练完成之后用测试集进行测试。 这也是最常见的机器学习模型。 Batch learning关注的是我们的模型在未来数据上的预测能力。

针对Online Learning的Mistake Bound Algorithm只是一种理论方法,根据犯错误的次数来评价一个模型的好坏。 它对数据的分布没有什么要求,也不在乎未来数据。 它能够回答:"我们需要犯多少次错误才能收敛?",但是却不能回答: "我们需要多少数据才能收敛?"

然而,对于Batch learning来说,我们需要考虑:

  1. 假设空间的大小
  2. 成功学习的可能性
  3. 需要多少样本才能保证学习成功
  4. 我们能够目标函数的准确性

这些内容在Mistake Bound Algorithm 中都没有被考虑到。 因此,Mistake Bound Algorithm的分析方法并不适用于Online Learning的模型。

由此,我们引入了Probably Approximately Correct(PAC)学习框架。

基本概念

基本假设

在PAC的学习框架中,我们有两个重要的基本假设:

  1. 训练集和测试集是来源于同一个分布的。
  2. 对于Concept集合中的任何一个Concept,假设空间中总存在一个函数$h$能够满足所有的训练样本。(也就是说,Concept集合是假设空间的一个子集)

第一个假设非常重要,它是Batch Learning的基本前提,这保证了我们从训练集中学习到的知识同样符合测试集。

定义错误

对于Batch Learning模型来说,假设空间中的任何一个函数$h$都存在两种不同的错误:

  1. 经验错误(Empirical Error): 训练集$S$中被$h$预测错的数据比例。用公式来表示就是:$error_S(h)=Pr_{x\in S}[h(x)\neq f(x)]$.
  2. 真实错误(True Error): 对于整个数据分布$D$中的数据,$h$预测错的概率。用公式来表示就是:$error_D(h)=Pr_{x\sim D}[h(x)\neq f(x)]$.

而过拟合的情况其实就是出现$err_S(h) << err_D(h)$时的现象。

PAC学习

PAC定义

为了能够衡量Batch Learning,我们需要新的评价方式,能够将假设空间的大小、学习成功率、需要的样本数等条件一起考虑。

首先,我们要知道,不管你的学习器有多么强大,我们是永远无法学习到一个完美的模型,能够对所有的数据(包括训练集和测试集)进行正确地预测。 其次,我们也无法期望学习器能够学习到一个无限接近真实函数的模型,因为训练集总是有限的,不可能涵盖所有的未知情况。 所以,唯一可实现的是,期望我们的学习器能够以大概率学习到一个足够近似真实函数的模型。 因此我们能够得出PAC的定义:

对算法$L$和假设空间$H$来说,如果Concept集合$C$:

  • 对于所有的$f\in C$;
  • 对所有的可能的分布$D$,存在常数$0\le \epsilon, \delta <1$;

对所有$m$个从$D$中独立采样得到样本,算法$L$能够以$1-\delta$的概率得到一个假设$h\in H$且$h$的真实错误最多是$\epsilon$. 并且,此时的$m$是$\frac{1}{\epsilon},\frac{1}{\delta},n$和$\vert H \vert$的多项式结果。 那么,Concept集合是PAC可学习的, 如果$L$能够在$\frac{1}{\epsilon},\frac{1}{\delta},n$和$\vert H \vert$的多项式时间内产生$h$,那么$C$是高效可学习的。

上述的定义非常绕人,需要多读几遍才能正确理解。 如果,理解上还是有困难,可以参考下面奥卡姆剃原理中的公式推导。

奥卡姆剃刀原理

奥卡姆剃刀原理是一个解决问题的方法论,它的核心思想其实就是一句话:

在相同结果的条件下,我们应该选择最简单的模型。

更加简略的表述是:

如无必要,勿增实体

好,现在我们回到PAC问题上。 我们首先提出一个结论:

存在一个假设$h$满足:

  1. 能够和所有的$m$个训练样本保持一致
  2. 它的真实错误$err_D(h)>\epsilon$

的概率小于$\vert H\vert (1-\epsilon)^m$.

证明:

假如存在真实错误大于$\epsilon$的假设$h$,那么$h$预测对一个训练样本的概率是$Pr[f(x)=h(x)]<1-\epsilon$. 因为$m$个训练样本是独立同分布的,所以,$h$预测对全部的$m$个样本的概率$<(1-\epsilon)^m$.

根据Union Bound,大小为$\vert H\vert$的集合中存在这样的$h$的概率小于$\vert H\vert (1-\epsilon)^m$.

$\Box$

我们可以进一步推导,我们希望$\vert H\vert (1-\epsilon)^m<\delta$:

$$\begin{aligned} & \ln(\vert H \vert) + m\ln(1-\epsilon) < \ln\delta \\ &\Rightarrow \ln(\vert H\vert) - m\epsilon < \ln\delta\\ &\Rightarrow \ln(\vert H\vert) + \ln\frac{1}{\delta} < m\epsilon\\ &\Rightarrow m > \frac{1}{\epsilon}\left[\ln(\vert H \vert) + \ln\frac{1}{\delta}\right] \end{aligned}$$

最终我们可以得到如下的不等式:

$m > \frac{1}{\epsilon}\left[\ln(\vert H \vert) + \ln\frac{1}{\delta}\right]$

其中:

  • $\frac{1}{\epsilon}$表示随着真实错误率的提高,我们需要更多的训练样本。
  • $\ln(\vert H\vert)$表示越大的假设空间,我们需要更多的训练样本。
  • $\ln\frac{1}{\delta}$表示置信度越高,我们需要更多的训练样本。

其中的$\frac{1}{\epsilon},\ln(\vert H\vert),\ln\frac{1}{\delta}$正式PAC中所要求的。 因此,对于一个学习器,我们能够使用上述的不等式来判断该学习器是否是PAC可学习的。

同时,这个公式也告诉我们,在$\epsilon$和$\delta$固定的情况下,我们应该选择更小的假设空间,这就体现了奥卡姆剃刀原则的要求。

总结

PAC是一种分析机器学习模型的理论框架,它能够同时兼顾多项标准:

  • 训练集大小
  • 真实错误率
  • 置信度

PAC是用来衡量Batch Learning模型的评价体系,它有两个重要的基本假设:

  1. 训练集和测试集是来源于同一个分布的。
  2. 对于Concept集合中的任何一个Concept,假设空间中总存在一个函数$h$能够满足所有的训练样本。

因为有了第一个假设,我们才能使真实错误和经验错误发生联系;因为有了第二个假设,我们才能使用Union Bound,才能确保$H$中一定包含我们需要学习的目标函数。

其实,这两个假设也是很强的假设,接下去的博文将会说明,当这些条件不满足时,我们该如何分析机器学习模型。

参考资料

更新日志

  • 2017年1月14日 完成初稿并发布
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