三种梯度下降法

写在前面

最近需要手写一个Feedforward的网络结构,在选择优化算法的时候,猛然发现原来Batch Gradient Descent和mini-Batch Gradient Descent是两种不同的优化策略,感觉这里遗漏了一大块知识,赶忙补充了一下,此处做一下记录。

Batch Gradient Descent

在优化目标函数的时候,Batch Gradient Descent(BGD)是先计算整个数据集上的梯度,然后再进行更新操作。对于参数$\theta$来说,每更新一次其中的某一位权重$\theta_j$,BGD都需要遍历整个数据集。

对于目标函数$h_{\theta}(x)$用公式来表示就是:

$$\begin{equation} \theta_j := \theta_j + \alpha\sum\limits_{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x_j^{(i)} \label{BGD} \end{equation}$$

其中的$(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x_j^{(i)}$其实就是对于训练样例$x^{(i)}$的$j$属性的梯度,$m$是训练集的大小,具体的推导过程可以在这里查看。

从公式$\ref{BGD}$中可以看到,BGD是对整个数据集进行扫描然后计算整体梯度($\sum$求和过程),进行更新。其实,这才是真正的梯度.

BGD的优点在于对于凸问题,它是能够保证收敛到全局最优点的。而缺点就是,计算量很大,计算每一位的权重都要遍历整个数据集,这代价未免太大了,计算量是无法接受的。随之而来的另外一个缺点就是BGD是无法进行online训练的,它必须要知道全部的训练集的情况下才能进行训练,这对于一些线上系统也是一个问题。

Stochastic Gradient Descent

SGD是对BGD的一个改进方案,改变之处在更新时不需要遍历整个数据集,而是每一个实例都进行更新。具体公式是:

$$\begin{equation} \theta_j := \theta_j + \alpha(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x_j^{(i)} \label{SGD} \end{equation}$$

比较公式$\ref{BGD}$和$\ref{SGD}$,我们可以发现区别就在省略了求和过程$\sum$,也就是说更新权重的时候,不需要计算整体的梯度,而是仅仅依靠当前实例的梯度进行更新。

如此改变之后,速度明显提高了很多,但是这也是有风险的。由于进行频繁的梯度更新,很有可能直接跳过了最优点。因此,SGD实际上是无法保证收敛到全局最优点的,而且不是那么的稳定。

Mini-Batch Gradient Descent

而Mini-Batch是对上述两种策略的一种中和,它的基本思想就是从整个训练集上选取一个子集,对这个自己进行BGD的更新。具体公式可以表示为:

$$\begin{equation} \theta_j := \theta_j + \alpha\sum\limits_{i=1}^n(y^{(i)}-h_{\theta}(x^{(i)}))x_j^{(i)} \label{mini-BGD} \end{equation}$$

比较公式$\ref{BGD}$和$\ref{mini-BGD}$会发现唯一的区别在于求和时的项数不一样,此处的$n$不再是训练集的大小,而是一个小于或等于$m$的数,通常范围在于50-256。

简单来说,先把大小为$m$的训练集平均分为大小为$n$的$\frac{m}{n}$个子集,每次读入一个子集,进行梯度计算,更新权重。

相比SGD来说,它更加稳定;相比BGD来说,它计算量较小。

总结

BGD SGD mini-Batch
训练集 固定 固定 固定
单次迭代样本数 整个训练集 固定 训练集的子集
算法复杂度 一般
收敛性 稳定 不稳定 较稳定
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