定义1: 设V是数域上的线性空间，W是V的一个非空子集。如果W关于V的加法与数量运算也组成数域F上的线性空间，我们则称W是V的一个子空间。

上面这个定义是非常数学化的，其实，通俗来说，线性空间V的子空间就是它自己的一个子集，并且这个子集上的元素满足V中元素的运算性质。这个定义不难理解，简单的例子就是三维空间和二维平面的关系。

生成子空间

定义2: 设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是线性空间V中的元素，令$W=\{k_1x_1+k_1x_1+\cdots+k_n x_n\| k_i\in F\}$，则称集合W是由向量系$x_1,x_2,\cdots,x_n$的生成子空间，记为$W=span\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}=\{k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_n x_n\|k_i\in F\}$

上面这个定义也是很好理解的，其实 生成子空间是原空间中某些元素(称为向量系)的所有线性组合所形成空间。注意，此处的向量系不一定是线性无关的，这里的向量系指的是所有的向量系。

一些特殊的子空间

交空间: $W_1\cap W_2=\{\alpha\|\alpha\in W_1且\alpha\in W_2\}$

和空间: $W_1+W_2=\{\alpha+\beta\|\alpha\in W_1,\beta\in W_2\}$

其中$W_1$，$W_2$是V的子空间，可以证明，$W_1\cap W_2$和$W_1+W_2$也是V的子空间，此处只对$W_1+W_2$做出简略证明:

设$x,y\in W_1+W_2$,$A,B\in F$,根据$W_1+W_2$的定义，我们可以得到：

$$ \begin{align} x&=a_1\alpha_1+b_1\beta_1,\alpha_1\in W_1,\beta_1\in W_2 \\ y&=a_2\alpha_2+b_2\beta_2,\alpha_2\in W_1,\beta_2\in W_2 \end{align} $$

在上式中，$a_1,b_1,a_2,b_2\in F$，所以:

$$ \begin{align} Ax+By&=Aa_1\alpha_1+Ab_1\beta_1+Ba_2\alpha_2+Bb_2\beta_2\\ &=\left(Aa_1\alpha_1+Ba_2\alpha_2\right)+\left(Ab_1\beta_1+Bb_2\beta_2\right) \end{align} $$

又因为$\alpha_1,\alpha_2\in W_1$,$\beta_1,\beta_2\in W_2$，所以$Aa_1\alpha_1+Ba_2\alpha_2\in W_1$,$Ab_1\beta_1+Ba_1\beta_2\in W_2$,因此：

$$ Ax+By\in W_1+W_2 $$

证闭¹

需要注意的是:每个线性空间都至少有2个子空间，一个是其自身，另一个是仅有零元素组成的子空间称为零子空间，这两个子空间称为平凡子空间。

还两个比较特殊的子空间：

A的零空间($N(A)$): $N(A)=\{x | Ax=0,x\in F^n\}$

A的象空间($R(A)$): $R(A)=\{y\in F^n | y=Ax,\forall x\in F^n\}$

这里需要注意的是， $N(A)$是满足条件的$x$的集合，而$R(A)$是所有$Ax$的集合。

直接和空间

上面我们定义了 和空间的概念，简单来说，就是和空间中的任意一个元素都可以表示成另外两个线性空间元素的和，即

$$ \begin{equation} \alpha = \alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2 \end{equation} $$

但是这样的表示并不是唯一的，如果说我们需要一个能够唯一的表示，那么有如下的定义

定义3：如果$V_1+V_2$中任一向量只能唯一地表示为子空间$V_1$的一个向量与子空间$V_2$的一个向量的和，则称$V_1+V_2$为直接和，记为$V_1\oplus V_2$

定理: $V_1+V_2$为直接和的充要条件是:$V_1$与$V_2$之交$V_1\cap V_2$为零空间，即$V_1\cap V_2 = \{0\}$²

直接和的几何意义可以这么理解:从$V_1$,$V_2$中任意取出两个非零元素$x,y$，则$x$与$y$必是线性无关的。

关于 直接和，还有以下几个推论和定理：

推论1: $V_1+V_2$为直接和的充要条件为$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2$

推论2: 设$V_1+V_2$为直接和，若$x_1,x_2,\cdots,x_r$是$V_1$的一组基，$y_1,y_2,\cdots,y_k$是$V_2$的一组基，则$x_1,x_2,\cdots,x_r,y_1,y_2,\cdots,y_k$是$V_1\oplus V_2$的一组基。

定理: 设$V_1$是$n$维线性空间$V$的一个子空间，则一定存在$V$的一个子空间$V_2$，使得$V=V_1\oplus V_2$

凸集的概念

定义4: 设$C$是$V$的非空子集，若$\forall x,y\in C$，连接$x$与$y$的“线段”$\lambda x+(1-\lambda)y(0\leq\lambda\leq 1)$均在$C$中，即

$$ \begin{equation} \{\lambda x + (1-\lambda)y|x,y\in C,\lambda\in[0,1]\}\subset C \end{equation} $$

则称$C$是$V$中的凸集。

凸集的直观理解是:集合中任意两点之间的连线仍然在该集合中。

此处的证明非常简略，只是证明了$W_1+W_2$是对加法封闭的，还需要证明对数乘也是封闭的，不过这个证明非常的简单，此处不再给出了。要证明一个空间是V的子空间，主要就是要证明这个子空间对加法和数乘运算时封闭的。 ↩
这个充要条件可以通过反证法来证明，此处不再给出。 ↩

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矩阵论学习笔记1-线性子空间

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